Dunia Matematika: Sejarah Bilangan Prima

NAMA : YOLANDA ANASTASYA

NIM : 06081381621048

Sejarah Bilangan Prima

Dalam pembelajaran matematika telah kita ketahui ada macam-macam bentuk bilangan. Seperti bilangan genap, ganjil, bulat asli, real dan salah satunya yakni bilangan prima. Sejak sekolah dasar tentu kita telah mengetahui apa itu bilangan prima. Bilangan prima yakni bilangan yang hanya mempunyai dua fakor yakni satu dan dirinya sendiri. Bagi sebagian orang tentu belum banyak yang tau tentang manfaat dan keuntngan apa saja yang dapat dihasilkan dengan operasi pada bilangan prima, bagaimana sejarah bilangan prima dari awal, sifat sifat bilangan prima, cara menentukan bilangan prima dll. Dengan makalah ini akan dibahas lebih lanjut tentang bilangan prima.

Bilangan prima telah dipelajari selama ribuan tahun. Buku “Elements” karya Euclid diterbitkan sekitar 300 tahun sebelum masehi yang menjadi bukti beberapa hasil terkait bilangan prima. Pada bagian IX dari “Elements”, Euclid menulis kemungkinan terdapat begitu banyak bilangan prima, mendekati tak hingga. Euclid juga memberi bukti teori dasar dari Aritmatika, dimana setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai hasil perkalian bilangan prima secara unik.

Pada buku “Elements”, Euclid menyelesaikan masalah tentang bagaimana menciptakan angka sempurna, dimana bilangan bulat positif setara dengan jumlah dari pembagi positif, menggunakan bilangan prima Marsenne. Bilangan prima Marsenne merupakan bilangan prima yang dapat dihitung lewat persamaan 2n – 1. Bilangan Marsenne termasuk angka terbesar yang pernah terungkap.

Pada tahun 200 sebelum masehi, Eratosthenes membuat algoritma untuk menghitung bilangan prima, yang dikenal juga sebagai Saringan Eratosthenes. Algoritma merupakan salah satu algoritma yang pertama kali ditulis. Eratosthenes meletakkan angka pada kotak dan mencoret berbagai angka yang tergolong kelipatan dan akar kuadrat sehingga angka tersisa merupakan bilangan prima.

Namun saat Dark Ages, dimana intelektual dan sains mengalami tekanan, tidak ada lagi karya berikutnya yang membahas bilangan prima. Pada abad ke 17, ahli matematika seperti Fermat, Euler, dan Gauss mulai memeriksa pola yang muncul pada bilangan prima. Konjektur dan teori yang dibuat para ahli matematika disaat itu menciptakan revolusi dari matematika, dan beberapa diantaranya masih dibuktikan hingga saat ini.

Menentukan Bilangan Prima Eratoshenes.

Jika n suatu bilangan bulat lebih besar dari 1 dan tidak dapat dibagi oleh sebarang bilangan prima p maka n adalah bilangan prima. Salah satu cara untuk menemukan seluruh bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat yang diberikan adalah dengan menggunakan saringan Eratoshenes : Jika semua bilangan asli lebih besar 1 ditempatkan pada suatu “saringan” maka bilangan yang bukan bilangan prima diberi tanda silang (artinya jatuh melalui lobang saringan). Bilangan-bilangan yang tersisa adalah bilangan-bilangan prima.

Berikut contoh bagaimana saringan Eratosthenes bekerja. Buat kotak 10 x 10 berisi bilangan 1 – 100. Selanjutnya kita akan mencoret angka kelipatan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 10 karena 10 merupakan akar kuadrat dari 100. Saat seluruh angka kelipatan dicoret, kita mesti mencoret angka kelipatan yang tersisa dari bilangan berikutnya. Setelah proses pencoretan angka kelipatan mencapai kelipatan 100 (berarti 50), angka yang tersisa akan menjadi bilangan prima. Saringan ini akan membuat kita mampu memperoleh sejumlah angka bilangan prima.

Prosedur berikut mengilustrasi proses penyaringan ini.

1. Pada tabel 2 dibawah, berilah tanda silang bilangan 1 karena 1 bukan bilangan prima.

2. Lingkari bilangan 2 karena 2 bilangan prima.

3. Silanglah bilangan-bilangan kelipatan 2 karena bilangan-bilangan itu bukan bilangan prima.

4. Lingkari bilangan 3 karena 3 bilangan prima.

5. Silanglah bilangan-bilangan kelipatan 3 karena bilangan-bilangan itu bukan bilangan prima.

6. Lingkari bilangan 5 dan 7, silang bilangan kelipatannya.

Berdasarkan data pada tabel tersebut, berhentilah pada langkah ke-6 karena 7 adalah bilangan prima terbesar yang kuadratnya kurang dari 100. Semua bilangan tersisa yang didaftar dan yang tidak disilang adalah bilangan prima.

Manfaat Bilangan Prima

Bilangan prima berguna karena bisa membentuk semua bilangan bulat. Contohnya 72 dibangun oleh angka 2 dan 3 karena 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai perkalian bilangan – bilangan prima, yang salah satu kegunaannnya adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK), yang kemudian dipakai dalam menjumlahkan pecahan.

Dengan teknik matematika lanjut, bilangan prima juga digunakan dalam kriptografi, yaitu pengiriman pesan rahasia. Kriptografi selalu digunakan setiap kali kita diminta mengisi kata rahasia (password) dari mulai mengambil uang di ATM (memakai nomor PIN) sampai untuk mengecek surel (email). Bisa dibilang bilangan primalah pembangun sistem kriptografi sehingga pesan atau password kita aman.

Pada Proses Pembelajaran

Bilangan prima adalah bilangan lebih besar dari 1 yang hanya dapat dibagi oleh dua bilangan berbeda, yakni bilangan itu sendiri dan 1. Dengankata lain, bilangan prima tidak dapat difaktorisasi menjadi bilangan lain.Contohnya, 2 hanya dapat dibagi oleh 2 dan 1. Bilangan 2 hanya dapatdifaktorkan menjadi 2 dan 1 (2 = 2 × 1). Jadi, bilangan prima terkecil adalah2. Selain itu juga merupakan satu-satunya bilangan prima genap. Salah satu cara untuk menguji apakah suatu bilangan merupakan prima adalah dengan menggunakan topik Eratosthenes, yaitu suatu bilangan merupakan bilangan prima jika bilangan tersebut tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima yang lebih kecil dari atau sama dengan akar dari nilai tersebut. Sebagaicontoh, apakah 91 merupakan prima? Cara mengujinya adalah dengan membagi 91 dengan semua bilangan prima yang lebih kecil dari atau samadengan akar bilangan pangkat lebih kecil nilainya dari 91, yaitu 2, 3, 5, 7, 9.Ternyata 91 habis dibagi 7. Maka, 91 bukan merupakan bilangan prima.

Konsep bilangan prima.

Bilangan prima adalah bilangan lebih dari 1 dan hanya mempunyai 2 faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Konsep bilangan prima dapat diajarkan sebagai berikut.

Siswa diajarkan mengenai kelipatan suatu bilangan,

Ada sebuah burung unik. Burung tersebut hanya dapat terbang sejauh lima langkah. Burung itu terbang dari angka 0.

Selanjutnya, siswa diminta untuk mengerjakan di dalam kotak kotak seperti ini. Caranya adalah dengan mengisi angka yang dapat dilewati dengan kelipatan bilangan asli dimulai dari 1 dan habis pada bilangan yang ditentukan. Sebagai contoh, bilangan yang ditentukan adalah 3.Kelipatan 1 pada bilangan 3 adalah 1, 2, dan 3. Maka, angka 1 ditulis di atas angka 3. Kelipatan 2 tidak habis pada bilangan 3, sehingga 2 tidak ditulis. Kemudian, kelipatan 3 pada bilangan 3 adalah 3. Lalu,angka 3 ditulis di atas angka 1. Setelah kelipatan tersebut sama dengan bilangan yang ditentukan, pengisian pada kolom tersebut dihentikandan dilanjutkan dengan kolom berikutnya. Dengan demikian, bilangan3 dapat dibagi habis dengan angka 1 dan 3.

Hubungan Bilangan Prima pada Materi Pembelajaran

Bilangan prima biasanya digunakan untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) , faktor persekutuan terbesar (FPB), menentukan faktorisasi prima dalam suatu bilangan asli, dan juga dapat digunakan untuk menentukan himpunan suatu bilangan prima.

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK ( LKPD )